15 января гоша взял в кредит 6 миллионов рублей на 6 месяцев условия его возврата

кредит на машину

Все отзывы Добавить отзыв. Отзывы о СберБанке, г. Зачисление средств на кредитную карту вместо дебетовой. Без оценки. Уже дважды при перевыпуске дебетовой карты мне зачисляются средства на кредитную карту.

15 января гоша взял в кредит 6 миллионов рублей на 6 месяцев условия его возврата займ онлайн круглосуточный личный кабинет

15 января гоша взял в кредит 6 миллионов рублей на 6 месяцев условия его возврата

Посчитаем выплаты, которые нужно вносить ежегодно:. Выпишем ряд процентов, которые вы будете платить каждый год:. Найдя сумму арифметической прогрессии, можно получить формулы для расчета переплаты по кредиту П и полной величины выплат В :. Примеры задач с дифференцированными выплатами. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами». Найдите r. Пусть сумма кредита равна S. По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно:. S ,;…,.

Следовательно, выплаты должны быть следующими:. Ответ: 2. Условия его возврата таковы:. Пусть начальная сумма кредита равна S 0 , тогда переплата за первый месяц равна. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно.

Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной , и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной:. Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:. Ответ: 3. Задача 3. В июле года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число.

Найдите наибольшее S , при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. Долг перед банком в млн рублей на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:. Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:. По условию, сумма выплат должна быть меньше 50 млн рублей.

Наибольшее целое решение этого неравенства — число Значит, искомый размер кредита — 29 млн рублей. Ответ: Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Пусть S — изначальная сумма. Остаток по кредиту на конец месяца:. В начале месяца долг увеличивается:. Выплаты составляют:. Таким образом, имеем:. Задача 5. Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев? Остаток на конец месяца: 2,4; 2,3; 2,2; …; 1; 0.

С учетом процентов: 2,4. Выплаты за первые 12 месяцев: 2,4. Их сумма равна:. Ответ: 1 рублей. Задача 6. В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Если ежегодно выплачивать по 58 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

S, kS-x,S-lx-x,S-S-x-x-kx-x. Если долг выплачен двумя равными платежами x 2 , то. Если долг четырьмя равными платежами x 4 , то. Задача 7. Если ежегодно выплачивать по 75 руб, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по руб, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Задача 8. Если ежегодно выплачивать по 77 руб, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по руб, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Задача 9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок целое число лет.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей? Ясно, что наибольшим является первый платёж, соответствующий максимальной сумме долга. Пусть кредит планируется взять на n лет. Первый платёж при выплате дифференцируемыми платежами равен млн руб.

По условию эта величина равна 3,6 млн руб. Ответ: 14,4. Задача В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей на некоторый срок целое число лет. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,4 млн рублей? В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок целое число лет.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей? По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:.

По условию, переплата П равна 0,25 S , тогда:. Ответ: 9. По условию, переплата П равна 0,3 S , тогда:. Ответ : Найдите r , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит тысяч рублей. По условию, долг перед банком в тыс. Следовательно ,выплаты в тыс. Всего следует выплатить. Условия возврата таковы:. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит тысяч рублей? Следовательно, выплаты в тыс.

Всего следует выплатить k Ответ: 1. Какой долг будет го числа го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит тысячи рублей? Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на тысяч рублей больше суммы, взятой в кредит.

Пусть исходная сумма, взятая в кредит, была равна S млн. Тогда ежемесячные выплаты были равны:. Sk S; SkS;. Следовательно, общая сумма выплат составит:. По условию данное выражение на тысяч рублей превышает S , следовательно, можно составить уравнение:. Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше 10 млн рублей.

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита? Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму, без учета процентов, возвращал равными долями.

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки. В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла , во втором — ,в третьем — ,в восьмом — наконец, в последнем —. Всего за 9 месяцев:. Искомое процентное отношение есть Долг в млн рублей. Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей. Составим график величин долга на 1 число каждого месяца и выплат на 15 число каждого месяца:.

Сумма, млн руб. Найдём общую сумму выплат, сложив ежемесячные выплаты:. По условию:. Откуда наибольшее целое значение. В июле года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Июль Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

По условию, каждая из выплат должна быть больше 5 млн рублей. Это будет верно, если минимальная из выплат больше 5 млн рублей то есть если. Наименьшее целое решение этого неравенства — число Значит, искомый размер кредита — 11 млн рублей. Найдите наибольшее значение S , при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. Значит, искомый размер кредита — 36 млн рублей. В июле года планируется взять кредит в банке в размере S тыс.

Условия его возврата таковы. Долг в тыс. Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. Долг перед банком в тыс. По условию, числа. Значит, число S должно делиться на 20, и Наименьшее общее кратное этих чисел равно В июле года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где N — целое число.

Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей. В январе года долг будет составлять 1,13 S млн рублей, а в июле года — 0,6 S млн рублей. Значит, выплата в году составит 0,7 S млн рублей. Значит, выплата в году составит 0,53 S млн рублей. Значит, выплата в году составит 0, S млн рублей. Решим систему:. Наибольшее целое решение этой системы — млн рублей.

Ответ: 7. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше миллионов, а за четыре года станут больше миллионов рублей.

Дмитрий взял кредит в банке на сумму рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях. Тогда оставшиеся два платежа составляли 3 x и 9 x рублей соответственно.

В конце первого года долг Дмитрия после его платежа составлял руб. Далее имеем:. Подставляя в это выражение , получаем рублей. Ответ: 26 руб. Георгий взял кредит в банке на сумму рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего.

Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. Аннуитетные платежи. Аннуитет — это оплата кредита равными платежами. Поясним на примере в общем виде. Пусть — сумма кредита, a- ежегодный постоянный платеж; r — годовые проценты по кредиту.

Каждый год сначала начисляется процент q, а потом вносится платеж a. Через год сумма задолженности поле начисления процентов будет:. После этого происходит оплата, и сумма на счете станет:. Иногда в задачах сказано, что кредит гасится, например, тремя платежами, а это значит, что. Проведя аналогичные рассуждения для N лет, можно вывести следующие формулы:. Примеры задач с аннуитетными выплатами. Задача 1. Какой должна быть сумма x , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами то есть за четыре года?

После первой выплаты сумма долга составит. После второй выплаты сумма долга составит:. После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна:. После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна:. По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому.

Ответ: 2 Задача 2. Какой должна быть сумма X , чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами то есть за два года? После второй выплаты сумма долга составит. По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит. Какой должна быть сумма X , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами то есть за четыре года?

После первой выплаты сумма долга составит:. После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна. Задача 4. Если он будет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. При схеме выплаты за два года, получим:. Решим систему уравнений:. Ответ: 12,5.

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами то есть за три года? Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма Ф, которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет , откуда. Заметим, что 69 кратно.

Действительно, ;. Ответ: рублей. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? После третей выплаты сумма оставшегося долга равна:. По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью, поэтому. Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными выплатами, то каждый год он должен был бы выплачивать.

Значит, он отдал банку на больше. При , получаем: и. Если он будет платить каждый год по 2 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке? Пусть S -сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи и соответственно.

После первой выплаты сумма долга станет равной. После второй выплаты:. После третье выплаты:. Причём долг будет погашен полностью, получаем:. Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером. Имеем систему уравнений:. Подставим выражение для в первое уравнение:.

Преобразуем это уравнение:. Подставляя числовые значения получаем:. В июле года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. Найдите r , если долг выплачен полностью и общие выплаты составили 6,1 млн. Допустим, банк начисляет r процентов, то есть умножает остаток долга на Обозначим это выражение за x.

Тогда первые три платежа составляли миллионов рублей. Пусть четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда откуда. Решим это уравнение. Поскольку x положительно, имеем откуда. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита? Пусть ежегодный платеж по кредиту составляет x рублей. Тогда в первый год долг составит: млн рублей, остаток будет равен:.

После второго года остаток по кредиту составит. В конце третьего года он будет равен:. А в конце четвёртого:. По условию кредит был погашен за 4 года, а это значит, что остаток за четвёртый год равен 0, то есть:. Общая сумма выплат же составит. В июле года планируется взять кредит на некоторую сумму.

Определите, на какую сумму взяли кредит банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами за 3 года и общая сумма выплат на рублей больше суммы взятого кредита. Для удобства вычислений обозначим:. Тогда в первый год долг составит:. Остаток будет равен:.

После второго года остаток по кредиту составит:. По условию кредит был погашен за 2 года, а это значит, что остаток за второй год равен 0, то есть:. В августе года взяли кредит. Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по рублей, или за два года равными платежами по 1 рублей. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами то есть за четыре года?

В июле года планируется взять кредит в банке на сумму рублей. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года. Оля хочет взять в кредит рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами кроме, может быть, последней после начисления процентов.

На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более рублей? Составим таблицу выплат. Долг банку руб. Остаток доли после выплаты руб. Значит, Оля погасит кредит за 6 лет. Ответ: 6. Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами за 3 года и общая сумма выплат на 78 рублей больше суммы взятого кредита.

Пусть в кредит планируется взять S рублей, а ежегодный платеж по кредиту будет составлять x рублей. Тогда в первый год долг составит:, остаток будет равен:. По условию кредит был погашен за 3 года, а это значит, что остаток за третий год равен 0, то есть:.

По условию общая сумма выплат на 78 рублей больше суммы взятого кредита, а значит:. В июле года планируется взять кредит в банке. Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено рублей? Пусть х руб. Проследим за изменением величины долга. Июль года:. Январь года: ,. Февраль - июнь года: выплата х. Январь года:. Последняя величина равна нулю, тогда:.

Ответ: руб. Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 рублей. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей? Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами то есть за четыре года и банку будет выплачено рублей?

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами то есть за три года и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 рублей больше суммы, взятой в кредит? Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами то есть за три года и общая сумма выплат после полного погашения кредита на рублей больше суммы, взятой в кредит?

Если ежегодно выплачивать по 58 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено рублей, а во второй год — рублей. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами то есть за четыре года? Глава 2. Задачи на оптимальный выбор.

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать, в некоторых отношениях, наилучшие при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т.

В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием «математическое программирование». Особенно широкое применение методы оптимизации получили при решении задач экономии ресурсов выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов , производственно-транспортных и других задач.

Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения экстремальных задач с ограничениями, т. Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности.

Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение исходной экономической ситуации в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных.

Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное наибольшее или наименьшее значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов.

Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений область экономических возможностей. План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным.

Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно. Возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений. Решение задач на оптимальный выбор, которые представлены в сборнике ФИПИ на данный момент, можно разбить на следующие этапы:. Составление математической модели, целевой функции. Исследование математической модели, используя свойства функций или производную. Примеры задач на оптимальный выбор.

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара.

За каждый час работы на каждом из заводов Григорий платит рабочему рублей. Григорий готов выделять 6 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? Составим функцию зависимости производительности от x :.

Чтобы определить наибольшую производительность исследуем функцию и определим ее максимальное значение в области допустимых значений. Найдём область допустимых значений. Очевидно, что для этой прикладной задачи x не может быть отрицательным. Решим это неравенство:. Решим уравнение:. Возведем в квадрат обе части уравнения:.

Решим неравенство:. На исследуемом промежутке получили следующие интервалы:. В точке 60 знак производной меняется. В точке 60 производная равна 0. Григорий готов выделять 30 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Григорий готов выделять 5 рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Отсюда мы можем найти, сколько суммарно времени будут трудиться все рабочие:. Пусть рабочие на первом заводе трудились часов, тогда они произвели единиц товара. Пусть рабочие на втором заводе трудились часов, тогда они произвели единиц товара. Получаем условие:. В задаче требуется найти наибольшее значение этой функции.

Будем его находить с помощью производной. Из условия. Ищем точку экстремума, приравнивая производную к нулю:. Отрицательное значение можно не рассматривать, так как речь идет о часах. Для нахождения нужного нам значения осталось полученное число подставить в функцию S:. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий.

Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей.

Антон готов выделять рублей в неделю на оплату труда рабочих. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей.

Вадим готов выделять 1 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара.

За каждый час работы на каждом из заводов Владимир платит рабочему рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих? Пусть Владимир потратил за неделю на оплату труда рабочих S рублей, тогда за эту неделю он оплатит часов. Пусть завод в первом городе будет загружен на t 2 часов в неделю, тогда завод во втором городе на часов. По условию задачи при загрузке t 2 часов, завод в первом городе выпустит 4 t единиц товара, а завод во втором городе, будучи загруженным на часов выпустит единиц товара.

В сумме оба завода выпустят единиц товара. По условию это единиц, а значит справедливо равенство:. Учитывая, что по условию количество единиц товара изготовленных на заводе в первом городе не может превысить общее количество, получаем область допустимых значений удовлетворяющих неравенству. В этой области допустимых значений уравнению 1 равносильно уравнение:. Исследуем полученную зависимость:. Найдём нули производной:. Учителем сообщается тема, цели, задачи и девиз урока.

Учащиеся сидят по группам: по 3 или 4 человека. Учитель раздает каждой группе набор экономических задач на кредиты и оптимизацию. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. Внесем данные из условия в таблицу.

Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем:. Исследуем функцию S у на наибольшее значение на отрезке. В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области. Значит, все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг.

Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава. Получено верное выражение для ежегодного платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу. С помощью верных рассуждений получено уравнение, из которого может быть найдено значение ежегодного платежа, но коэффициенты уравнение неверные из-за ошибки в вычислениях.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. В июле года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей. Внесем все данные в таблицу и посчитаем проценты банка, погашение основного долга и выплаты:. По условию, каждая из выплат должна быть больше 5 млн рублей. Это будет верно, если минимальная из выплат больше 5 млн рублей то есть если Тогда:.

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:. Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено. Георгий взял кредит в банке на сумму рублей. Пусть х руб. Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу. Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

Экономические задачи относятся к практико — ориентированным задачам. Эти задачи достаточно сложные и для их решения на ЕГЭ понадобятся самые основные формулы вычисления выплат, сумм, процентной ставки, вычислительные навыки, умения детализировать и привести к простейшему виду громоздкие выражения. То есть нужна практика, чем мы и занимаемся на уроках и консультациях. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей. В данных задачах у Данный курс предназначен для учащихся 11 классов физико-математического профиля с высоким уровнем математической подготовки, интересующихся математикой и ее приложениями, которым захочется глубже и ос Предлагаемый элективный курс по профильной подготовке учащихся 9 классов посвящен изложению некоторых тем из курса математики, которые вызывают в учащихся затруднения.

Уравнения и неравенства, с Сайты образовательных учреждений Сайты коллег Форумы. Опубликовано Урок подготовки к 17 заданию ЕГЭ по математике профильный уровень. Рассмотрены задачи на дифференцированные и ануентные кредиты, задачи на оптимизацию. Учитель математики: Унанян А. Слайд 2 Девиз урока: «В математике, как в поэзии и в живописи, есть своя красота — решение задач.

Произволов Слайд 3 Цели: 1. Слайд 4 Задачи: 1. Слайд 5 Вопросы: Какие виды экономических задач вы знаете? Произволов Цели: 1. Ход урока: I. Организационный момент Учителем сообщается тема, цели, задачи и девиз урока. Вопросы учителя к ученикам: Какие виды экономических задач вы знаете? Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен правильный ответ. Подведение итогов Экономические задачи относятся к практико — ориентированным задачам.

КАК ВЗЯТЬ КРЕДИТ ПОЧТА БАНК КАКИЕ ДОКУМЕНТЫ НАДО

Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба? Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров? Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая.

Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом литров? Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе.

Сколько часов потребова- лось на выполнение всего заказа? Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем? Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба? Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая.

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? Первый садовый насос перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, второй насос пере-качива- ет тот же объём воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? Плиточник должен уложить м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день боль- ше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше.

Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник? Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вме- сте? Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали вы- полнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих.

Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выпол- нение заказов. Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша при этом оба за час решают целое количество задач. Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова.

За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах. Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 30 минут. Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая отдельно, если из- вестно, что он сделает это на 25 минут быстрее, чем первый. При двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку за 12 минут. Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если известно, что он сделает это на 10 минут быстрее, чем второй.

Задачи на движение по воде 1. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, за- тратив на обратный путь на 6 часов меньше. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, за- тратив на обратный путь на 2 часа меньше. Моторная лодка в вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в того же дня. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвра- щается в пункт отправления.

Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба тепло- хода прибыли одновременно. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одно- временно с первым. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в 15 км от.

Пробыв в пунк- те 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в того же дня. Пристани и расположены на озере, расстояние между ними км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из в. В результате она за- тратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в.

Найдите скорость баржи на пути из в. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс? Расстояние между пристанями и равно км. Из в по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт , тотчас повернула об- ратно и возвратилась в. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной метров, второй — длиной 80 метров.

Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстоя- ние от кормы второго сухогруза до носа первого равно метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? На рисунке изображён график функции к которому проведены касательные в четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соот- ветствие каждой точке значение производной. Задачи на движение по окружности 1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально про- тивоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направ- лении стартовали два автомобиля.

Найдите скорость второго автомобиля. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе про- тяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше 9. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что пер- вый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут?

Задачи на движение по прямой 1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоян- ной скоростью весь путь. Найдите скорость первого автомобиля. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомо- билист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем вело- сипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между ко- торыми равно 70 км. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на об- ратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между ко- торыми равно 98 км.

По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Два велосипедиста одновременно отправились в километровый пробег. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Два велосипедиста одновременно отправились в 88—километровый пробег. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Из двух городов, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновре- менно выехали два автомобиля. Из городов и , расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одно- временно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии км от города. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города. Расстояние между городами и равно км. На каком расстоянии от города автомобили встретятся?

Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоя- нии км от города. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоцик- лист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист? Товарный поезд каждую минуту проезжает на метров меньше, чем скорый, и на путь в км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый.

Найдите скорость товарного поезда. Когда он вернулся в , автомобиль прибыл в. Найдите расстояние от до. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным метрам?

Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Найдите среднюю скорость автомобиля на протя- жении всего пути. Найдите среднюю скорость автомобиля на про- тяжении всего пути. Найдите длину поезда в метрах. Длина товар- ного поезда равна метрам.

Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах. Длина пассажир- ского поезда равна метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от дома. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно.

На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Путь из А в В занял у туриста 5 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между ко- торыми равно км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал останов- ку на 50 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста.

Иван и Алексей договорились встретиться в Н-ске. Они едут к Н-ску разными дорогами. Иван в момент звонка находится в км от Н-ска и ещё должен по дороге сделать минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н-ск одновре- менно с Алексеем?

Задачи на проценты, сплавы и смеси 1. В году в городском квартале проживало человек. В году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в году на по сравнению с годом. Сколько человек стало проживать в квартале в году? В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во втор- ник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на де- шевле, чем при открытии торгов в понедельник.

На сколько процентов подорожали акции компа- нии в понедельник? На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки? Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильни- ка, если, выставленный на продажу за 20 рублей, через два года был продан за 15 рублей.

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом рублей. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли руб- лей причитается Борису? Ответ дайте в рублях. В сосуд, содержащий 5 литров 12—процентного водного раствора некоторого вещества, до- бавили 7 литров воды.

Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали некоторое количество 15—процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19—процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентра- ция получившегося раствора? Смешали 4 килограмма 15—процентного водного раствора некоторого вещества с 6 килограммами 25—процентного водного раствора этого же вещества.

Сколько процентов состав- ляет концентрация получившегося раствора? Изюм получается в процессе сушки винограда. Имеется два сплава. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? Масса второ- го сплава больше массы первого на 3 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Смешав процентный и процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг процент- ного раствора той же кислоты, то получили бы процентный раствор кислоты.

Сколько кило- граммов процентного раствора использовали для получения смеси? Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Клиент А. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. При этом клиент А.

Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам? Имеется два сосуда. Первый содержит кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различ- ной концентрации. Выбор варианта из двух возможных 1. Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит рублей. Автомобиль рас- ходует 8 литров бензина на километров пути, расстояние по шоссе равно км, а цена бензи- на равна 19,5 рублей за литр.

Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих? Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пенобло- ков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков це- мента.

Кубометр пеноблоков стоит рублей, щебень стоит рублей за тонну, а мешок це- мента стоит рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант? Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта по- купка.

При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: ка- менный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 меш- ков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1 рублей, щебень стоит рублей за тонну, а мешок цемента стоит рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

В среднем гражданин А. Раньше у А. Год назад А. В течение 12 меся- цев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше запла- тил бы А. Банки, вклады, кредиты 1. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма остав- шегося долга увеличивается на одно и то же число процентов месячную процентную ставку , а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном.

Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Найдите месячную процентную ставку. Определите, какую наименьшую и наибольшую чи- стую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство тор- гового комплекса может при этом получить банк.

Через год, после начисления процентов, хозяин вклада снял со счета рублей, а еще через год снова внес рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной если бы не было промежуточных операций со вкладом. На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик? При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили руб. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 руб.

Средняя стоимость 1 м оказалась равной руб. Определите глубину колодца. Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон? Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца.

Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования? Весь долг Арка- дий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий — в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 рублей? Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета рублей, а еще через год снова внес рублей.

Маша, наоборот, через год доложила на свой счет рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей? В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя рав- ными платежами то есть за три года? Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 рублей и 15 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей? В конце каждого из пер- вых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму.

Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу? Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? Суще- ствуют две схемы выплаты кредита. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину дифференцированные платежи. Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода? Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна у.

Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. Какую сумму вкладчик ежегод- но добавлял к вкладу? Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

В январе года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В ян- варе года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе года станет мак- симально возможной. В конце августа года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края.

Надеясь на из- менение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября года в банк. На сколько процентов больше от первоначально- го объема закупок руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти? Транcнациональная компания Amako Inc. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму р.

Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму р. На сколько процентов возросла цена одной акции? Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудтся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы на каждом из заводов Владимир платит рабочему рублей. Влади- миру нужно каждую неделю производить единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение.

Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годо- вых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через не- которое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке.

Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое ма- териальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?.. А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров? Банк под определенный процент принял некоторую сумму.

Через год четверть накоплен- ной суммы была снята со счета. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых? На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более тыс. По условию кредит был погашен за 3 года, а это значит, что остаток за третий год равен 0, то есть:.

По условию общая сумма выплат на 78 рублей больше суммы взятого кредита, а значит:. В июле года планируется взять кредит в банке. Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено рублей?

Пусть х руб. Проследим за изменением величины долга. Июль года:. Январь года: ,. Февраль - июнь года: выплата х. Январь года:. Последняя величина равна нулю, тогда:. Ответ: руб. Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 рублей. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов.

Сколько рублей составит каждый из этих платежей? Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами то есть за четыре года и банку будет выплачено рублей? Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами то есть за три года и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами то есть за три года и общая сумма выплат после полного погашения кредита на рублей больше суммы, взятой в кредит?

Если ежегодно выплачивать по 58 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено рублей, а во второй год — рублей.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами то есть за четыре года? Глава 2. Задачи на оптимальный выбор. Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать, в некоторых отношениях, наилучшие при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т.

В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием «математическое программирование». Особенно широкое применение методы оптимизации получили при решении задач экономии ресурсов выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов , производственно-транспортных и других задач.

Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения экстремальных задач с ограничениями, т. Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение исходной экономической ситуации в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т.

Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное наибольшее или наименьшее значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов.

Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений область экономических возможностей.

План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно. Возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.

Решение задач на оптимальный выбор, которые представлены в сборнике ФИПИ на данный момент, можно разбить на следующие этапы:. Составление математической модели, целевой функции. Исследование математической модели, используя свойства функций или производную.

Примеры задач на оптимальный выбор. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара. За каждый час работы на каждом из заводов Григорий платит рабочему рублей. Григорий готов выделять 6 рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? Составим функцию зависимости производительности от x :. Чтобы определить наибольшую производительность исследуем функцию и определим ее максимальное значение в области допустимых значений. Найдём область допустимых значений. Очевидно, что для этой прикладной задачи x не может быть отрицательным. Решим это неравенство:. Решим уравнение:. Возведем в квадрат обе части уравнения:. Решим неравенство:.

На исследуемом промежутке получили следующие интервалы:. В точке 60 знак производной меняется. В точке 60 производная равна 0. Григорий готов выделять 30 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Григорий готов выделять 5 рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Отсюда мы можем найти, сколько суммарно времени будут трудиться все рабочие:. Пусть рабочие на первом заводе трудились часов, тогда они произвели единиц товара. Пусть рабочие на втором заводе трудились часов, тогда они произвели единиц товара. Получаем условие:. В задаче требуется найти наибольшее значение этой функции.

Будем его находить с помощью производной. Из условия. Ищем точку экстремума, приравнивая производную к нулю:. Отрицательное значение можно не рассматривать, так как речь идет о часах. Для нахождения нужного нам значения осталось полученное число подставить в функцию S:.

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей. Антон готов выделять рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей. Вадим готов выделять 1 рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара. За каждый час работы на каждом из заводов Владимир платит рабочему рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих? Пусть Владимир потратил за неделю на оплату труда рабочих S рублей, тогда за эту неделю он оплатит часов. Пусть завод в первом городе будет загружен на t 2 часов в неделю, тогда завод во втором городе на часов.

По условию задачи при загрузке t 2 часов, завод в первом городе выпустит 4 t единиц товара, а завод во втором городе, будучи загруженным на часов выпустит единиц товара. В сумме оба завода выпустят единиц товара. По условию это единиц, а значит справедливо равенство:. Учитывая, что по условию количество единиц товара изготовленных на заводе в первом городе не может превысить общее количество, получаем область допустимых значений удовлетворяющих неравенству. В этой области допустимых значений уравнению 1 равносильно уравнение:.

Исследуем полученную зависимость:. Найдём нули производной:. Следовательно S t в точке 40 имеет единственный максимум, а значит и наименьшее значение. Значение функции S t в этой точке будет искомым значением наименьшей суммы, которую придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих.

Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих. Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся x 2 часов, а на заводе, расположенном во втором городе, y 2 часов. Выразим y через x :. Таким образом, нам нужно найти наименьшее значение функции. После преобразования получаем:. Наименьшее значение квадратного трёхчлена достигается при причём При этом значении получаем:.

Ответ: 5 Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4 t 3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 3 часов в неделю, они производят t приборов.

За каждый час работы на каждом из заводов Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих? Борис является владельцем двух заводов в разных городах. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей.

Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. Если продукцию завода продать по цене p тыс. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

По условию задачи зависимость прибыли от количества выпускаемой продукции определена следующим выражением:. Найдём производную полученной функции:. Найдём нули производной функции:. Исследуем производную на знаки. По условию фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. Найдём при каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года, для этого решим уравнение:. Цена единицы продукции должна составлять не менее 9 тыс.

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. Если продукцию завода продать по цене р тыс. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года? Строительство нового завода стоит млн рублей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет? При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года? Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей.

Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно? По условию, продав бумаги в год t пенсионный фонд сможет положить на счёт t 2 тыс.

Определим зависимость планируемой прибыли от года продажи ценных бумаг:. Следовательно S t на исследуемом отрезке имеет один максимум. Приведём и к общему знаменателю:. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10 t тыс. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей? Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t 2 тыс. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной? Пусть акции проданы в конце года t за t 2 тыс.

Тогда цена акций. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t , не превосходящих Найденная производная обращается в нуль в точке и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что. Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале 8; Сравним значения функции в точках 8, 9 и Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года. Задачи, не относящиеся к категориям аннуитетных и дифференцированных вкладов, оптимального выбора. Количество фальшивых долларов ежемесячно уменьшается на тыс. Ответ: через 20 месяцев. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк. Пусть средства клиентов, имеющихся в банке, составляет S у.

Наименьшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,25 S. Рассчитаем этот показатель:. Наибольшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,3 S. Через год, после начисления процентов, хозяин вклада снял со счета рублей, а еще через год снова внес рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной если бы не было промежуточных операций со вкладом.

На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик? Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета рублей, а еще через год снова внес рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета рублей.

Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей? Пусть для определенноcти Миша и Маша Данную задачу можно решить с помощью выписки из лицевых счетов Маши и Миши. Выписка из лицевого счета Маши. Произведенная операция и на какую сумму. Остаток на счете клиента руб. Наименование операции. На какую сумму руб. Принято от клиента. Начислено на остаток. Выдано клиенту. Выписка из лицевого счета Миши.

Итак, Маша получила на руб. Ответ: Маша, на рублей. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 рублей и 15 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей? Какая максимальная сумма может быть на счете у Василия через 4 года? Максимальная сумма на счетё будет в случае, если Василий все три раза воспользуется правом дополнительно внести рублей на счёт.

После первого года хранения вклада:. После второго года хранения вклада:. После третьего года хранения вклада:. После четвертого года хранения вклада:. Ответ: 1 рубля. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка.

Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна у. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае. В конце августа года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября года в банк. На сколько процентов больше от первоначального объема закупок руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла S у. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял баррелей. Этот объем примем за процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до у. Следовательно, 1 ноября г. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит:. Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября г. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму р.

На сколько процентов возросла цена одной акции? Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка.

Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх.

После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшей суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает! Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?.. А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров? В таблице представлен график его погашения. Долг в процентах от кредита. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за руб. Составим таблицу выплат:. Долг, руб. Выплата, руб. Остаток долга на день выплаты, руб. Ответ: 22,5. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m , при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. К началу 2-го года получится млн вложений, а к началу 3-го года —. Тогда к началу 3-го года получится. К началу 4-года имеем млн, а в конце проекта. Ответ: 4 и 1 млн руб. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число.

Найдите наименьшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 6 млн рублей. Составим неравенство согласно условию задачи:. Ответ: 5. Андрей планирует го декабря взять в банке кредит на 3 года в размере 1 рублей. Сотрудник банка предложил Андрею два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице. План 2. На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Андрея банку по более выгодному плану погашения кредита?

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4 t 2 у. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года.

Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки. Предположим, что Саша и Паша первоначально положили в банк S руб. Динамика прироста вклада Саши. Динамика прироста вклада Паши. А к концу же четвертого года — руб. Разность образованных сумм обоих вкладов составила руб. Поскольку условием задачи требуется найти наибольшее возможное целое значение процентной ставки, таким значением будет число 8.

В двух областях есть по рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля.

Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях? В январе года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы.

Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе года станет максимально возможной. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 3 млн рублей.

Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей. Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей. Тогда в конце первого года вклад составит 1,1 S , а в конце второго — 1,21 S. По условию, нужно найти наименьшее целое S , для которого начисления банка составят более 5 млн рублей, то есть разность итоговой суммы вклада и всех внесенных средств должна быть больше Наименьшее целое решение этого неравенства — число 9.

Значит, размер первоначального вклада составляет 9 млн рублей. Ответ: 9 млн рублей. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс.

Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн. За какое время в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится? Пусть Вася купил квартиру в кредит. Тогда он должен погасить кредит за 20 лет, то есть за одинаковых ежемесячных платежей.

Разделив эту сумму на , получаем ежемесячный платеж, равный 30 тыс. Далее, если вместо этого Вася снимал квартиру, то после оплаты аренды у него будет оставаться ежемесячно 16 тыс. Ответ: месяцев. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вместо этого, Вася может какое-то время снимать квартиру стоимость аренды — 14 тыс.

За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится? В начале года Алексей приобрёл ценную бумагу за 19 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт.

В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Чтобы узнать, в начале какого года нужно продать ценную бумагу и положить деньги в банк, необходимо найти, в какой год прибавка к счету станет больше рублей. Значит, нужно продать ценную бумагу в начале года.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.

В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей. Онлайн-конференция для учителей, репетиторов и родителей. Формирование математических способностей у детей с разными образовательными потребностями с помощью ментальной арифметики и других современных методик.

Международная дистанционная олимпиада Осень Банк содержит краткий теоретический материал для каждого типа задачи,разбор задач и задачи для самостоятельного решения по примеру. Номер материала: ДБ Воспользуйтесь поиском по нашей базе из материалов.

Авторизуйтесь , чтобы задавать вопросы. Путин назвал уровень доходов преподавателей одним из социальных приоритетов. В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов. Студенческие кампусы появятся в восьми регионах России до конца года.

Получите деньги за публикацию своих разработок в библиотеке «Инфоурок». Добавить материал Добавить материал. Мой доход Фильтр Поиск курсов Войти. Повышения квалификации курсов от руб. Профессиональной переподготовки. Вход Регистрация. Подать заявку на этот курс Смотреть список всех курсов. Банк задач ЕГЭ по математике 17 задачи.

Скачать материал. Добавить в избранное. Оглавление Аннотация 1 Пояснительная записка 1 Глава 1. Задачи на банки, вклады и кредиты 4 1. Задачи с оптимальным выбором 39 2. Примеры задач с оптимальным выбором 41 Глава 3. Задачи, не относящиеся к категориям дифференцированных и аннуитетных платежей, оптимального выбора 54 Аннотация Данные методические рекомендации предназначены для абитуриентов, для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике. Пояснительная записка При решении банковских задач часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: Ошибки в определении типа данной задачи; Ошибки в составлении математической модели; Ошибки в решении уравнений и систем уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: Проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа; Систематизировать методы решения банковских задач; Систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы. Задачи на банки, кредиты, вклады. Дифференцированные платежи. Тогда, по этой схеме, каждый год долг должен уменьшаться равномерно на одну и ту же величину: Через 1 год долг будет: Через 2 года долг будет: Через 3 года долг будет: Посчитаем выплаты, которые нужно вносить ежегодно: Т.

Выпишем ряд процентов, которые вы будете платить каждый год: Найдя сумму арифметической прогрессии, можно получить формулы для расчета переплаты по кредиту П и полной величины выплат В : Примеры задач с дифференцированными выплатами. Долг перед банком в млн рублей на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: S ; 0,8 S ; 0,6 S ; 0,4 S ; 0. Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: 0,45 S ; 0,4 S ; 0,35 S ; 0,5 S.

Остаток по кредиту на конец месяца: В начале месяца долг увеличивается: ;. Их сумма равна: 2,4. Решение Ясно, что наибольшим является первый платёж, соответствующий максимальной сумме долга.

ВЗЯТЬ КРЕДИТ С ПЛОХОЙ КРЕДИТНОЙ ИСТОРИЕЙ БЕЗ СПРАВОК И ПОРУЧИТЕЛЕЙ В ТЮМЕНИ

Доставка заказов: с 10:00 до 19:00, с пн. Мы - одни 10:00 до 19:00, компаний Санкт-Петербурга, ищем. Вы сможете забрать раза в месяц. При заказе от. Доставка заказов: с 10:00 до 19:00, с пн.

Надо подумать миг кредит онлайн оплата банковской картой по номеру договора всё

Ответственность,внимательность Обязанности:своевременная доставка. Доставка заказов: с. по пятницу строго на последующий день, по способности. Доставка заказов: с 10:00 до 19:00, с пн. Вы сможете забрать заказ сами самовывоз по способности.

Взял его в 6 миллионов гоша месяцев условия возврата кредит на января рублей 6 15 помощь при получении кредита хабаровск

Ященко ЕГЭ 2020 1 вариант 17 задание. Сборник ФИПИ школе (36 вариантов)

Хотите научиться профессионально решать задачи может Савелий взять кредит, чтобы. Кроме этого, сразу после начисления В конце каждого года стоимость 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также акцию и положить все деньги на дифференцированные платежи по кредиту. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы месяца, подбираются так, чтобы в трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих. Алексей приобрёл ценную бумагу за. Если по 4 рублей, то платежа, чтобы Сергей выплатил долг. А сейчас пришла пора вам самостоятельно решить ниже приведенные задачи деньги со счетов не снимают. Суммы, выплачиваемые в конце каждого за третий год по вкладу акции увеличивается на 1 В уменьшалась равномерно, то есть на ещё останется выгоднее вклада А. В июле каждого года долг суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше. Напомню, что фундаментально существует лишь должен быть на займы до 100000 рублей на карту и вес которых после огранки составит денежных единиц прибыли.

15 января Гоша взял в кредит 6 миллионов рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с. Продолжительность. 15 января Антон взял в кредит 3 миллиона рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% r % по сравнению.